Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$, $4\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$ , $-\overrightarrow{PC}+2\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{0}$ . Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.

Ta có: $4\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$  ⇔  $4\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$(1)

 $-\overrightarrow{PC}+2\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{0}$ (2)

Lấy (1) + (2) ta được: $4\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NP}+2\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{0}$

⇔ $4\overrightarrow{NB}+2\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{PN}$

⇔  $2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{PA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PN}$

⇔ $\frac{1}{2}\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA}+2\left(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MB}\right)$

⇔ $\frac{1}{2}\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PM}+2\overrightarrow{NM}+\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right)$

⇔ $\frac{1}{2}\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PM}+2\overrightarrow{NM}$  (vì $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ )

⇔ $\frac{1}{2}\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PM}+2\overrightarrow{NP}+2\overrightarrow{PM}$

⇔ $\frac{1}{2}\overrightarrow{PN}=3\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PN}$

⇔ $\frac{5}{2}\overrightarrow{PN}=3\overrightarrow{PM}$

⇔ $\frac{5}{6}\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PM}$

Vậy M, N, P thẳng hàng.