Cho tam giác ABC, trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ;\,\overrightarrow {NA} = 3\overrightarrow {CN} ;\,\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \vec 0\).

a) \(\overrightarrow {PM} ,\,\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \).

b) Chứng minh M, N, P thẳng hàng.

Lời giải

a) Ta có \(\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \vec 0\).

Suy ra P là trung điểm AB.

Ta có \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} = 3\left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CB} } \right) = 3\overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {CB} \).

Suy ra \( - 2\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {CB} \).

Do đó \(\overrightarrow {BM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} \).

Ta có \[\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} \].

\[ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = - \overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \].

Ta có \[\overrightarrow {NA} = 3\overrightarrow {CN} = 3\left( {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {NA} } \right) = 3\overrightarrow {CA} - 3\overrightarrow {NA} \].

Suy ra \[4\overrightarrow {NA} = 3\overrightarrow {CA} \].

Do đó \[\overrightarrow {AN} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \].

Ta có \(\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).

b) Ta có \[\overrightarrow {PN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {PM} \].

Vậy ba điểm M, N, P thẳng hàng.