Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho

$\left|2\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\right|=\left|3\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\right|$.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Gọi I là điểm nằm trên BC sao cho

$\left|2\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\right|=\left|3\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\right|$

$\iff \left|2\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)\right|=\left|3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\right|$

$\iff \left|\mathrm{2.3.}\overrightarrow{MG}\right|=\left|\mathrm{3.2.}\overrightarrow{MI}\right|$

$\iff \left|\overrightarrow{MG}\right|=\left|\overrightarrow{MI}\right|$

$\iff MG=MI$.

Vậy tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực của GI.