Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N là điểm chính giữa cung AB, cung
a) Vì M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC
Xét (O)
^ACM=^BCM (2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau)
⇒ CI là tia phân giác ^ACB
Tương tự trong (O) có ^BAN=^CAN
⇒ AI là tia phân giác ^BAC
Xét ΔABC có:
CI là đường phân giác
AI là đường phân giác
⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
⇒ BI là tia phân giác ^ABC
Gọi F là giao điểm của BI và (O)
Xét (O) có:
Mà
⇒ ^BIN=^IBN
⇒ ΔBNI cân tại N.
b) Gọi G là giao điểm của BI và MN
Xét (O) có
^ANM=^MNB (2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau)
Xét ΔBIN cân tại N có
NG là đường phân giác
⇒ NK là đường trung trực của IB
⇒ KI = KB
⇒ ^KIB=^KBI
Mà ^ABF=^FBC
⇒ ^KIB=^IBC
Lại có chúng ở vị trí so le trong
⇒ IK // BC.