Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O, đường kính BC lần lượt cắt AB

Trả lời

a) Ta có: BC là đường kính của (O) suy ra $CM\perp AB$, $BN\perp AC$.

Mà $BN\cap CM=H$ suy ra H là trực tâm tam giác $∆ABC$

$\Rightarrow AK\perp BC$ (đpcm)

b) Ta có: $CM\perp AB, BN\perp AC$

$\Rightarrow \cos \widehat{A}=\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$

$\Rightarrow AM.AB=AN.AC$ (đpcm)

c) Ta có:

$AK\perp BC, BN\perp AC,CM\perp AB$.

Suy ra ta có những tứ giác sau là những tứ giác nội tiếp:

AMHN, MHKB, ANKB.

$\Rightarrow \widehat{KMH}=\widehat{KBH}=\widehat{KBN}=\widehat{KAN}=\widehat{HAN}=\widehat{HMN}$

$\Rightarrow \widehat{KMH}=\widehat{HMN}$

Suy ra MH là phân giác góc NMK.

d) Ta có:

$\widehat{SMB}+\widehat{BMN}=180°$

$\widehat{NCB}+\widehat{BMN}=180°$

Suy ra $\widehat{SMB}=\widehat{NCB}$

$\Rightarrow \Delta SMB\backsim \Delta SCN$(g.g)

$\Rightarrow \frac{SM}{SC}=\frac{SB}{SN}$

$\Rightarrow SM.SN=SC.SB$(1)

Theo câu c) $\Rightarrow \widehat{NMK}=2\widehat{CMN}=2\widehat{NBC}=\widehat{NOC}$

Suy ra MNOK nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{SKM}=\widehat{MNO}$

$\Delta SMK\backsim \Delta SON$(g.g)

$\Rightarrow \frac{SM}{SO}=\frac{SK}{SN}\Rightarrow SM.SN=SK.SO$(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

SB.SC= SK.SO