Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

∆ABC đều nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60°$.

Mà PQ // AB nên $\widehat{MQK}=\widehat{ABC}=60°$;

HK // AC nên $\widehat{MKQ}=\widehat{ACB}=60°$

∆MQK có: $\widehat{MQK}=\widehat{MKQ}=60°$ nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK.

$\Rightarrow \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK}=2\overrightarrow{MD}$ (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) $\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MI}=2\overrightarrow{MF}$ (2)

+) $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MJ}=2\overrightarrow{ME}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MJ}=2\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{MF}+2\overrightarrow{ME} \\ \Rightarrow 2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}\right)=\left(\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MI}\right)+\left(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MJ}\right)+\left(\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MP}\right) \end{gathered}$$

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MB}$

Tương tự ta có: $\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MC};\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}$

Khi đó: $2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}\right)=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}\right)$

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MO}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}=\frac{1}{2}.3\overrightarrow{MO}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$

Vậy $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$