Gọi M là trung điểm BC suy ra $AM\perp BC;SM\perp BC.$

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, vì tam giác ABC đều cạnh a nên $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2};MG=\frac{1}{3}MA=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ suy ra $MG.MA=\frac{a^2}{4}.$

Mặt khác H trực tâm tam giác SBC nên tam giác BMH và tam giác SMC là hai tam giác đồng dạng nên $\frac{BM}{SM}=\frac{MH}{MC}\iff MH.MS=BM.MC=\frac{a^2}{4}.$

Do đó $MH.MS=MG.MA$ hay $\frac{MH}{MG}=\frac{MA}{MS}$ nên tam giác MHG và tam giác MAS đồng dạng suy ra $GH\perp SM.$

Vì H thuộc (SAM) cố định khi S thay đổi trên d và $GH\perp SM$ nên (C) là một phần của đường tròn đường kính GM do đó trong các mặt cầu chứa (C), mặt cầu có bán kính nhỏ nhất là mặt cầu nhận GM làm đường kính nên bán kính mặt cầu $R=\frac{GM}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{12}.$