Cho tam giác ABC có trọng tâm G, hai điểm M, N thỏa mãn →MA=2→MB;3→NA+2→NC=→0.
a) Xác định 2 điểm M, N.
b) Tính →MN theo 2 vectơ →AB,→AC.
c) Tính →MGtheo 2 vectơ →AB,→AC. Suy ra 3 điểm M, N, G thẳng hàng.
a) Ta có →MA=2→MB
Suy ra M thuộc đường thẳng AB sao cho B là trung điểm của AM.
Ta có 3→NA+2→NC=→0⇔3→NA+2→NA+2→AC=→0⇔5→NA=2→CA⇔→AN=25→AC
Suy ra N thuộc đoạn thẳng AC sao cho AN=25AC.
b) Ta có →MA=2→MB⇔→MA−2→MB=→0⇔→MA−2→MA−2→AB=→0⇔→AM=2→AB
Suy ra →MN=→AN−→AM=25→AC−2→AB.
c) Gọi I là trung điểm của BC.
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:
→AG=23→AI=23.12(→AB+→AC)=13(→AB+→AC)
Ta có →MG=→AG−→AM=13(→AB+→AC)−2→AB=−53→AB+13→AC
=56.(25→AC−2→AB)=56→MN.
Do đó →MG=56→MN
Suy ra M, N , G thẳng hàng.