Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=60°$, a = BC = 10, r = 5$\sqrt{3}$. Tính diện tích của tam giác ABC.

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

K, H, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên AB, AC, BC.

Khi đó: AH = AK, CH = CE, BE = BK

Mặt khác ta có: AH = AC – CH

= AC – CE = AC – (BC – BE)

= AC – BC + BE

= AC – BC + BK

= AC – BC + AB – AK

= AC – BC + AB – AH

= b – a + c – AH

Suy ra: AH = $\frac{b-a+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}-a=p-a$

Từ tan$\widehat{OAH}=\frac{OH}{AH}$  ⇒ AH = $\frac{OH}{\tan \widehat{OAH}}=\frac{r}{\tan 30°}=5$

Mà AH = p – a nên ta có: p – a = 5

Hay p = 5 + a = 5 + 10 = 15

Vậy diện tích tam giác ABC là S_ABC = p.r = 15 . 5$\sqrt{3}$ = 75 $\sqrt{3}$.