Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Diện tích của các tam giác AGB, BGC và AGC có bằng nhau hay không?

Trả lời

Lời giải

Do $AF = \frac{1}{2}AC \Rightarrow {S_{AFB}} = \frac{1}{2}{S_{ACB}}$ (có cùng chiều cao hạ từ B) (1)

Vì G là trong tâm tam giác BAC nên suy ra $BG = \frac{2}{3}BF \Rightarrow {S_{AGB}} = \frac{2}{3}{S_{AFB}}$ (có cùng chiều cao hạ từ A) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ${S_{AGB}} = \frac{2}{3}{S_{AFB}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}{S_{ACB}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}$

Chứng minh tương tự ta suy ra được:

• ${S_{BDC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}$ và ${S_{BGC}} = \frac{2}{3}{S_{BDC}}$ nên ${S_{BGC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}$

• ${S_{ADC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}$ và ${S_{AGC}} = \frac{2}{3}{S_{ADC}}$ nên ${S_{AGC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}$

Vậy suy ra ${S_{AGB}} = {S_{BGC}} = {S_{AGC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}$.