1) Ta có: $\widehat {BHE} = \widehat {BKE} = 90^\circ$(vì EH vuông góc AB, EK vuông góc BC)

Xét tứ giác BHEK có: $\widehat {BHE} + \widehat {BKE} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Nên BHEK là tứ giác nội tiếp

2) Ta có: $\widehat {BHE} + \widehat {EBH} = 90^\circ$(do tam giác BHE vuông tại H)

$\widehat {BAE} + \widehat {EBH} = 90^\circ$(do tam giác ABE vuông tại E)

Nên: $\widehat {BHE} = \widehat {BAE}$

Mà $\widehat {BHE} = \widehat {BKH}$

Suy ra: $\widehat {BAE} = \widehat {BKH}$

Xét tam giác BHK và tam giác BCA có:

$\widehat B$chung

$\widehat {BAE} = \widehat {BKH}$

⇒ ∆BHK ∽ ∆BCA (g.g)

⇒ $\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BA}}$

⇒ BH.BA = BK.BC

3) Gọi I’ là giao điểm của HK và EF

Xét tứ giác BFEC có: $\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ$

Nên BFEC là tứ giác nội tiếp

Suy ra: $\widehat {{B_1}} = \widehat {{F_1}}$(2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Ta có: EH // CF (cùng vuông góc AB)

Nên: $\widehat {{E_1}} = \widehat {{F_1}}$(2 góc so le trong)

Suy ra: $\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}$ (1)

Theo câu a tứ giác BHEK nội tiếp nên $\widehat {{B_1}} = \widehat {{H_1}}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EK) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {{H_1}} = \widehat {{E_1}}$

Suy ra: I'HE cân tại I' hay I'H = I'E (3)

Lại có: $\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 90^\circ$

$\widehat {{F_2}} + \widehat {{E_1}} = 90^\circ$ (do tam giác HEF vuông tại H)

Nên: $\widehat {{H_2}} = \widehat {{F_2}}$hay tam giác I'HF cân tại I'

Suy ra: I'H = I'F (4)

Từ (3) và (4) suy ra: I'E = I'F hay I' là trung điểm EF

Suy ra: I' ≡ I nên I, H, K thẳng hàng.