Cho tam giác ABC có  = 60°, a = 10, r = $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ . Tính R, b, c.

Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

⇒ R = $\frac{a}{2\sin A}=\frac{10}{2\sin 60°}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

Ta có: S = $\frac{abc}{4R}=pr$ ⇒ $\frac{10bc}{4.\frac{10\sqrt{3}}{3}}=\frac{10+b+c}{2}.\frac{5\sqrt{3}}{3}$

⇒ 60bc = 200 (10 + b + c)

⇔ 3bc = 10(10 + b + c) = 100 + 10(b + c)(1)

Áp dụng định lý cos: a² = b² + c² – 2bc. cos

100 = b² + c² – bc (2)

Từ (1) và (2) ta có:

100 + 10(b + c) = (b + c)² – 100

⇔ (b + c)² – 10(b + c) – 200 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}b+c=20\\ b+c=-10\left(L\right)\end{array}\right.$

Với b + c = 20 thì bc = 100

Khi đó: b(20 – b) – 100 = 0

⇔ 20b – b² – 100 = 0

⇔ (10 – b)² = 0

⇔ b = 10

Suy ra: c = 10.