Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng vec tơ AB.AC=1/2(AB^2+AC^2-BC^2)

Trả lời

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\left(A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2\right)$

$=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{BC}}^2\right)$

$=\frac{1}{2}\left[\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+{\overrightarrow{AC}}^2\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^2\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}-{\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AC}}^2\right]$

$=\frac{1}{2}\mathrm{.2.}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$