Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\cos \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{p\left( {p - a} \right)}}{{bc}}}$.

b) R ≥ 2r.

Lời giải

a) Ta có $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}\frac{A}{2} - 1 = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}\frac{A}{2} = \frac{{{b^2} + {c^2} + 2bc - {a^2}}}{{2bc}}$

$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}\frac{A}{2} = \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{A}{2} = \frac{{\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)}}{{4bc}}$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{A}{2} = \frac{{4\left( {\frac{{b + c + a}}{2} - a} \right)\left( {\frac{{b + c + a}}{2}} \right)}}{{4bc}}$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{A}{2} = \frac{{4\left( {p - a} \right)p}}{{4bc}}$.

Suy ra $\Leftrightarrow \cos \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{4\left( {p - a} \right)p}}{{4bc}}} = \sqrt {\frac{{p\left( {p - a} \right)}}{{bc}}}$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có $R = \frac{{abc}}{{4S}};\,S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$ và $r = \frac{S}{p} = \frac{{2S}}{{a + b + c}}$.

Ta có $R \ge 2r \Leftrightarrow \frac{{abc}}{{4S}} \ge \frac{{4S}}{{a + b + c}}$

⇔ abc(a + b + c) ≥ 16S²

⇔ abc(a + b + c) ≥ 16.p(p – a)(p – b)(p – c)

$\Leftrightarrow abc\left( {a + b + c} \right) \ge 16.\frac{{a + b + c}}{2}\left( {\frac{{a + b + c}}{2} - a} \right)\left( {\frac{{a + b + c}}{2} - b} \right)\left( {\frac{{a + b + c}}{2} - c} \right)$

$\Leftrightarrow abc\left( {a + b + c} \right) \ge 16.\frac{{a + b + c}}{2}\left( {\frac{{b + c - a}}{2}} \right)\left( {\frac{{a + c - b}}{2}} \right)\left( {\frac{{a + b - c}}{2}} \right)$

⇔ abc(a + b + c) ≥ (a + b + c)(b + c – a)(a + c – b)(a + b – c)

⇔ abc ≥ (b + c – a)(a + c – b)(a + b – c)    (*)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt {\left( {b + c - a} \right)\left( {a + c - b} \right)} \le \frac{{b + c - a + a + c - b}}{2} = c$ (1)

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ $\sqrt {\left( {b + c - a} \right)\left( {a + b - c} \right)} \le b$   (2)

⦁ $\sqrt {\left( {a + c - b} \right)\left( {a + b - c} \right)} \le a$   (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra (b + c – a)(a + c – b)(a + b – c) ≤ abc.

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c.

Do đó (*) đúng.

Vậy ta có điều phải chứng minh.