Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng: AM ⊥ DB.
58
16/05/2024
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng: AM ⊥ DB.
Trả lời
Lời giải
Ta cần chứng minh AM ⊥ DB Û →AM.→BD=0.
Vì M là trung điểm của HD nên 2→AM=→AH+→AD.
Ta có: →BD=→BH+→HD.
Do đó 2→AM.→BD=(→AH+→AD).(→BH+→HD)
=→AH.→BH+→AH.→HD+→AD.→BH+→AD.→HD
=→AH.→BH⏟=0(doAH⊥BH)+→AH.→HD+→AD.→BH+→AD.→HD⏟=0(doAD⊥HD)
=→AH.→HD+→AD.→BH
=→AH.→HD+(→AH+→HD).→BH
=→AH.→HD+→AH.→BH+→HD.→BH
=→AH.→HD+→AH.→BH⏟=0(doAH⊥BH)+→HD.→BH
=→HD(→AH+→BH)
=→HD.(→AH+→HC)(do→BH=→HC)
=→HD.→AC=0(doHD⊥AC)
Do đó 2→AM.→BD=0⇔→AM.→BD=0.
Vậy AM ⊥ DB.
