Cho ∆ABC cân tại B, AB = a, đường trung tuyến BM. Gọi I là trung điểm của BC, E là điểm đối xứng với M qua I.
a. Tứ giác MCEB là hình gì?
b. Chứng minh tứ giác ABEM là hình bình hành.
c. Tìm điều kiện của ∆ABC để tứ giác MCEB là hình vuông.
a. Xét tứ giác BMCE có 2 đường chéo
BC và ME cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường
⇒ Tứ giác BMCE là hình bình hành (1)
Vì ∆BAC cân tại B có M là trung điểm của AC ⇒ trung tuyến BM đồng thời là đồng thời là đường cao ⇒ \(\widehat {BMC} = 90^\circ \) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác BMCE là hình chữ nhật.
b. Vì tứ giác BMCE là hình chữ nhật (cmt) ⇒ BE // MC
BE = MC; MC = MA ⇒ MA = BE
Có BE // MC ⇒ BE // AM (vì M ∈ AC)
Xét tứ giác ABEM có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BE//AM}\\{BE = AM}\end{array}} \right.\) ⇒ tứ giác ABEM là hình bình hành.
Vậy tứ giác ABEM là hình bình hành.
c. Tứ giác MCEB là hình vuông
Khi MB = MC ⇒ ∆BMC là tam giác vuông cân
\( \Rightarrow \widehat {MBC} = 45^\circ = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} \Rightarrow \widehat {ABC} = 2\widehat {MBC} = 2.45^\circ = 90^\circ \)
⇒ ∆BAC là tam giác vuông cân
⇒ Tứ giác MCBE là hình vuông khi ∆BAC là tam giác vuông cân tại B.