Cho ∆ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE.
a. Chứng minh rằng BE = CD.
b. Chứng minh rằng \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\).
c. Gọi K là giao điểm của BE và CD. ∆KBC là tam giác gì? Vì sao?
a. Ta có AB = AD + DB, AC = AE + EC mà AB = AC (vì ∆ABC cân tại A)
AD = AE (giả thiết) ⇒ DB = EC
Xét ∆BEC và ∆CDB có: DB = EC (chứng minh trên)
\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (Vì ∆ABC cân tại A)
BC là cạnh chung
\( \Rightarrow \Delta BEC = \Delta CDB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow BE = CD\) (2 cạnh tương ứng)
b. Vì \(\Delta BEC = \Delta CDB\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {EBC} = \widehat {DCB}\) (2 góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {ABE} + \widehat {EBC}\), \(\widehat {ACB} = \widehat {ACD} + \widehat {DCB}\)
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (Vì \(\Delta ABC\)cân tại A)
\(\widehat {EBC} = \widehat {DCB}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (điều phải chứng minh)
c. Xét ∆KBC có: \(\widehat {EBC} = \widehat {DCB}\) (chứng minh trên)
⇒ ∆KBC là tam giác cân tại K.