Cho $\Delta ABC$ cân tại A . Tia giác góc B cắt cạnh AC tại D, tia phân giác góc C cắt cạnh AB tại E. Chứng minh $\Delta ADE$ cân.

$\Delta ABC$ cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$(t/c tam giác cân)

$\Rightarrow \frac{\widehat{\text{ABC}}}{\text{2}}\text{ = }\frac{\widehat{\text{ACB}}}{\text{2}}$

Mà $\widehat{\text{ABD}}\text{ = }\widehat{\text{CBD}}\text{ = }\frac{\widehat{\text{ABC}}}{\text{2}}$

$\widehat{\text{ACE}}\text{ = }\widehat{\text{BCE}}\text{ = }\frac{\widehat{\text{ACB}}}{\text{2}}$

Nên $\widehat{\text{ABD}}\text{ = }\widehat{\text{CBD}}\text{ = }\widehat{\text{ACE}}\text{ = }\widehat{\text{BCE}}$

Xét $\Delta EBC$ và $\Delta DCB$có:

$\widehat{\text{EBC}}\text{ = }\widehat{\text{DCB}}$ (cmt)

BC là cạnh chung

$\widehat{\text{ECB}}\text{ = }\widehat{\text{DBC}}$ (cmt)

Do đó, $\Delta EBC=\Delta DCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow$ BE = CD (2 cạnh tương ứng)

Mà AB = AC (gt) nên AB - BE = AC - CD

$\Rightarrow$AE = AD

$\Rightarrow \Delta AED$cân tại A (đpcm)