Cho ∆ABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau ở D. Chứng minh:

a. ∆BDC cân.

b. AD là tia phân giác của góc A và DA là tia phân giác của $\widehat D$.

c. AD ⊥ BC và AD đi qua trung điểm của BC.

a. Do ∆ABC cân $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$

$\widehat {DBC} + \widehat {ABC} = \widehat {DCB} + \widehat {ACB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {DBC} = \widehat {DCB} \Rightarrow \Delta BDC$ cân tại D

b. Ta có ∆BDC cân nên BD = CD

∆ABC cân nên AB = AC

⇒ ∆ABD = ∆ACD (Hai tam giác vuông có các cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

$\Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CAD};\widehat {BDA} = \widehat {CDA} \Rightarrow AD$ là phân giác của $\widehat A$ và $\widehat D$

c. Do ∆ABC cân tại A và AD lầ phân giác $\widehat A$ nên AD là đường cao đồng thời là đường trung tuyến thuộc cạnh BC của ∆ABC (Trong tam giác cân đường phân giác đồng thời là đường cao, đường trung tuyến và đường trung trực)

⇒ AD ⊥ BC và đi qua trung điểm của BC.