Cho tam giác ABC cân tại A, M trung điểm BC, H là hình chiếu của M trên AC, E
Cho tam giác ABC cân tại A, M trung điểm BC, H là hình chiếu của M trên AC, E là trung điểm MH . Chứng minh AE vuông góc với BH
Tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC nên AM ^ BC.
Ta có: \(\overrightarrow {AE} \,.\,\overrightarrow {BH} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AM} } \right)\left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MH} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {AM} \,.\,\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} \,.\,\overrightarrow {MH} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} \,.\,\overrightarrow {MH} } \right)\) (Do AM ^ BC và MH ^ AC)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MH} } \right)\,\overrightarrow {BM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \,.\,\overrightarrow {MH} \)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \,.\,\overrightarrow {BM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {MH} \,.\,\overrightarrow {BM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \,.\,\overrightarrow {MH} \)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {MH} \,.\,\overrightarrow {BM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \,.\,\overrightarrow {MH} \) (Do AM ^ BC)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {MH} \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {MH} \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {AM} } \right)\) (Do M là trung điểm của BC)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {MH} \,.\,\overrightarrow {AC} = 0\)
Vậy AE vuông góc với BH