Cho tam giác ABC, biết a = 7, b = 8, c = 5. Tính \(\widehat A\), S, h_a , R.

Theo định lí hàm cos ta có

\[{\rm{cosB = }}\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{49 + 25 - 64}}{{2.7.5}} = \frac{{10}}{{70}} = \frac{1}{7}\]

\[{\rm{cosA = }}\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{64 + 25 - 49}}{{2.8.5}} = \frac{{40}}{{80}} = \frac{1}{2}\]

Suy ra \(\widehat A = 60^\circ \)

Diện tích tam giác ABC là:

\[S = \frac{1}{2}bc\sin {\rm{A = }}\frac{1}{2}.8.5.\sin 60^\circ = 20.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 3 \]

Ta có \({h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{7} = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}\)

Ta có sin² B + cos² B = 1

Hay \(si{n^2}B + \frac{1}{{49}} = 1\)

Suy ra \(\sin B = \frac{{4\sqrt 3 }}{7}\).

Áp dụng định lí sin ta có \(\frac{b}{{\sin B}} = 2{\rm{R}}\)

Suy ra \[{\rm{R}} = \frac{b}{{2\sin B}} = \frac{8}{{2.\frac{{4\sqrt 3 }}{7}}} = \frac{7}{{\sqrt 3 }}\]