Xét tam giác ABC có M là trung điểm AB, N là trung điểm BC
Suy ra MN là đường trung bình
Do đó MN // AC, MN = \(\frac{1}{2}\)AC
Xét tam giác ABC có P là trung điểm AC, N là trung điểm BC
Suy ra PN là đường trung bình
Do đó PN // AB, PN = \(\frac{1}{2}\)AB
Xét tứ giác APNM có
AP // MN, AM // PN
Suy ra APNM là hình bình hành
Do đó \(\widehat {BAC} = \widehat {MNP}\)
Xét tam giác ABC và tam giác NPM có
\(\frac{{AB}}{{NP}} = \frac{{AC}}{{MN}} = 2\)
\(\widehat {BAC} = \widehat {MNP}\)
Suy ra (c.g.c) theo tỉ lệ là 2
Mà H, H’ là trực tâm tam giác ABC và tam giác NPM
Suy ra \(\frac{{CH}}{{MH'}} = 2\)
Hay CH = 2MH’ (1)
Mặt khác CH ⊥ AB, MH’⊥ PN, AB // PN
Suy ra MH’ // CH (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {CH} = 2\overrightarrow {H'M} \)
Ta có \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HH'} + \overrightarrow {H'A} + \overrightarrow {HH'} + \overrightarrow {H'B} + \overrightarrow {HC} \)
\( = 2\overrightarrow {HH'} + (\overrightarrow {H'A} + \overrightarrow {H'B} ) + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HH'} + (\overrightarrow {H'A} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {H'B} + \overrightarrow {BM} ) + \overrightarrow {HC} \)
\( = 2\overrightarrow {HH'} + (\overrightarrow {H'M} + \overrightarrow {H'M} ) + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HH'} + 2\overrightarrow {H'M} + \overrightarrow {HC} \)
\( = 2\overrightarrow {HH'} + \overrightarrow {CH} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HH'} = \overrightarrow {HK} \)
Vậy ta chọn đáp án B.
