Gọi I là giao điểm của AH và PN.
Xét ∆ABC có: AP = BP và AN = NC.

Do đó PN là đường trung bình của $\Delta$ABC

Suy ra PN // BC mà AH$\bot$BC

Do đó PN$\bot$AH (1)
Ta có: PN // BC mà PI ∈ PN

Suy ra PI // BC
Xét ∆AHB có: PI // BC và AP = BP

Suy ra AI = IH (2)
Từ (1) và (2) suy ra PN là đường trung trực của AH.