Cho số thực x, y thỏa mãn: \[x - \sqrt {x + 6} = \sqrt {y + 6} - y\].

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x + y.

Lời giải

• Ta có x + y = \[\sqrt {x + 6} + \sqrt {x + 6} \] ≥ 0 ⇒ x + y ≥ 0

\[x + y = \sqrt {x + 6} + \sqrt {y + 6} \le \sqrt {2\left( {x + y + 12} \right)} \]

\[ \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {x + y + 12} \right)\]

\[ \Rightarrow (x + y + 4)(x + y - 6) \le 0\]

x + y ≤6 (do x + y + 4 > 0)

Do đó P_max = 6 khi x = y = 3

• Lại có \[x + y = \sqrt {x + 6} + \sqrt {y + 6} \]

\[ \Rightarrow {(x + y)^2} = x + y + 12 + 2\sqrt {(x + 6)(y + 6)} \ge x + y + 12\]

\[ \Rightarrow {(x + y)^2} - (x + y) - 12 \ge 0\]

\[ \Rightarrow (x + y + 3)(x + y - 4) \ge 0\]

\[ \Rightarrow x + y - 4 \ge 0\]

\[ \Rightarrow x + y \ge 4\]

P_min = 4 khi (x; y) = (–6; 10) và hoán vị.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 6 khi x = y = 3 và giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi (x; y) = (–6; 10) và hoán vị.