Cho số phức z thỏa mãn |z + i + 1| = |z − 2i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của modun của số phức z.

Đặt z = x + yi (x, y Î ℝ).

Ta có: |z + i + 1| = |z − 2i|

 $\iff \sqrt{{\left(x+1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2}=\sqrt{x^2+{\left(y-2\right)}^2}$

Û (x + 1)² + (y + 1)² = x² + (y − 2)²

Û x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = x² + y² − 4y + 4

Û 2x + 6y = 2

Û x + 3y = 1

Û x = 1 − 3y

Khi đó, mô đun của số phức z là:

 $\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(1-3y\right)}^2+y^2}=\sqrt{1-6y+9y^2+y^2}$

 $=\sqrt{10y^2-6y+1}=\sqrt{\left(10y^2-2.\sqrt{10}y.\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{9}{10}\right)+\frac{1}{10}}$

 $=\sqrt{{\left(y\sqrt{10}-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)}^2+\frac{1}{10}}\ge \frac{\sqrt{10}}{10}$

Dấu “=” xảy ra  .$\iff y\sqrt{10}=\frac{3}{\sqrt{10}}\iff y=\frac{3}{10}\Rightarrow x=\frac{1}{10}$

Vậy GTNN của mô đun z là  $\frac{\sqrt{10}}{10}$ khi  $x=\frac{1}{10},y=\frac{3}{10}$.