Cho phương trình x² – mx + m – 3 = 0.

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x₁, x₂ mà không phụ thuộc vào m.

Lời giải

a) ∆ = (–m)² – 4(m – 3) = m² – 4m + 12 = (m – 2)² + 8.

Ta có (m – 2)² ≥ 0, ∀m ∈ ℝ.

⇔ (m – 2)² + 8 ≥ 8 > 0, ∀m ∈ ℝ.

⇔ ∆ > 0, ∀m ∈ ℝ.

Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂.

b) Theo Viet: S = x₁ + x₂ = m và P = x₁x₂ = m – 3.

Suy ra x₁ + x₂ – x₁x₂ = m – m + 3 = 3.

Vậy hệ thức cần tìm là x₁ + x₂ – x₁x₂ = 3.