Cho phương trình: x^2 − mx + m − 1 = 0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn: x1^2 + 3x1x2 = 3x2 + 3m + 16.

Trả lời

Lời giải

• Xét phương trình: x² − mx + m − 1 = 0 (1)

Ta có: ∆ = m² − 4(m − 1) = m² − 4m + 4 = (m − 2)²

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0

Hay (m − 2)² > 0 Û m ≠ 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = m - {x_2}\\\left( {m - {x_2}} \right){x_2} = m - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = m - {x_2}\\{x_2}^2 - m{x_2} + m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = m - {x_2}\\\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) - m\left( {{x_2} - 1} \right) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = m - {x_2}\\\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_2} + 1 - m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = m - {x_2}\\\left[ \begin{array}{l}{x_2} = 1\\{x_2} = m - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = m - 1\\{x_2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = m - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

• Xét phương trình: x₁² + 3x₁x₂ = 3x₂ + 3m + 16 (2)

+) TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = m - 1\\{x_2} = 1\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình (2) trở thành:

(2) Û (m − 1)² + 3(m − 1) = 3 + 3m + 16

Û m² − 2m − 21 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 + \sqrt {22} \\m = 1 - \sqrt {22} \end{array} \right.\)

+) TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình (2) trở thành:

(2) Û 1² + 3(m − 1) = 3(m − 1) + 3m + 16

Û 3m + 15 = 0

Û m = −5.

Vậy \[m = 1 \pm \sqrt {22} \] và m = −5 là các giá trị của m thỏa mãn.