Đặt $t=\sqrt{x^2-2x+2}$

Xét hàm số $t\left(x\right)=\sqrt{x^2-2x+2}$   trên đoạn $\left[0;1+2\sqrt{2}\right]$

$t^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}\Rightarrow t^{\text{'}}=0\iff x=1$

Vì $t\left(0\right)=\sqrt{2};t\left(1\right)=1;t\left(1+2\sqrt{2}\right)=3$  nên  $t\in \left[1;3\right]$

Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình $m\left(t+1\right)=t^2-2$  có nghiệm thuộc đoạn $\left[1;3\right]\iff m=\frac{t^2-2}{t+1}$  có nghiệm thuộc đoạn    $\left[1;3\right]$ (1)

Xét hàm số$f\left(t\right)=\frac{t^2-2}{t+1}$  trên đoạn

$f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{t^2+2t+2}{{\left(t+1\right)}^2}>0,\forall t\in \left[1;3\right]$khi hàm số đồng biến trên đoạn  $\left[1;3\right]$

Để phương trình (1) đã cho có nghiệm thì $\underset{\left[1;3\right]}{\min }f\left(t\right)\le m\le \underset{\left[1;3\right]}{\text{max}}f\left(t\right)$

  $\iff f\left(1\right)\le m\le f\left(3\right)\iff -\frac{1}{2}\le m\le \frac{7}{4}$                                                      

Vậy $a=-\frac{1}{2};b=\frac{7}{4}\Rightarrow T=4$ . Chọn A