Cho phương trình ${\log }_4{\left(x+1\right)}^2+2={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{4-x}+{\log }_8{\left(4+x\right)}^3$. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}{\left(x+1\right)}^2>0\\ 4-x>0\\ {\left(4+x\right)}^3>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -1\\ x<4\\ x>-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-4<x<4\\ x\ne -1\end{array}\right.$

Ta có: ${\log }_2\left|x+1\right|+{\log }_{2}4={\log }_2\left(4-x\right)+{\log }_2\left(4+x\right)\iff 4\left|x-1\right|=16-x^2$

$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ 4x-4=16-x^2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x<1\\ -4x+4=16-x^2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-2+2\sqrt{6}\\ x=-2\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là $x=2\sqrt{6}-4$.

Chọn A.