Cho parabol (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng (d): y = mx + 2.

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt.

b) Gọi x₁, x₂ lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m để \[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - 3\]

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{1}{2}{x^2} = mx + 2\)

\( \Leftrightarrow {x^2} = 2mx + 4\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0\)

\(\Delta ' = {m^2} + 4 > 0,\;\forall m\)

Suy ra đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

b) Theo Viét:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = - 4\end{array} \right.\)

Ta có: \[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - 3\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{x_1}{x_2}}} = - 3\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = - 3\]

\( \Leftrightarrow \frac{{4{m^2} + 8}}{{ - 4}} = - 3\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\)

Vậy m = ±1 là các giá trị của m thỏa mãn.