Cho parabol (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng (d): \(y = mx - \frac{1}{2}{m^2} + m + 1\). Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ sao cho |x₁ − x₂| = 2

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

\(\frac{1}{2}{x^2} = mx - \frac{1}{2}{m^2} + m + 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 2m - 2 = 0\)

\(\Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - 2m + 2} \right) = 2m + 2\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {\Delta ^\prime } > 0 \Leftrightarrow 2m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 1\)

Theo Viét:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m - 2\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có:

|x₁ − x₂| = 2

\( \Leftrightarrow {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = 4\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\)

\( \Rightarrow 4{m^2} - 4\left( {{m^2} - 2m - 2} \right) = 4\)

\( \Leftrightarrow 2m + 2 = 1\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(m = \frac{{ - 1}}{2}\) là giá trị của m thỏa mãn.