Cho p và q là các số dương thỏa mãn log₉ p = log₁₂ q = log₁₆ (p + q). Tính giá trị của \(\frac{q}{p}\).

Đặt log₉ p = log₁₂ q = log₁₆ (p + q) = t

Suy ra p = 9^t, q = 12^t, p + q = 16^t

Þ 9^t + 12^t = 16^t

Û 3^2t + 3^t.4^t − 4^2t = 0

Chia cả hai vế đẳng thức này cho 3^2t

\(1 + {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} - {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2t}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\;\left( {TM} \right)\\{\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\;\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Do đó \[\frac{q}{p} = \frac{{{{12}^t}}}{{{9^t}}} = \frac{{{4^t}}}{{{3^t}}} = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\].