Cho (O; R) và (O; R') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O') sao cho AM vuông góc với AN. Chứng minh:

a) OM song song O'N;

b) Xác định vị trí của AM và AN để diện tích tứ giác OMNO' lớn nhất.

Lời giải

a) Xét ∆MAN vuông tại A có:

$\widehat {AMN} + \widehat {ANM} = 90^\circ$ (1)

Và $\widehat {MAO} + \widehat {NAO'} = 180^\circ - \widehat {MAN} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (2)

Lại có:

• ∆OMA cân tại O (OA = OM = R) $\Rightarrow \widehat {OAM} = \widehat {OMA}$ (3)

• ∆O'NA cân tại O (O'A = O'N = R') $\Rightarrow \widehat {O'AN} = \widehat {O'NA}$ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra:

$\widehat {OMN} + \widehat {MNO'}$

$= \left( {\widehat {OMA} + \widehat {AMN}} \right) + \left( {\widehat {ANM} + \widehat {O'NA}} \right)$

$= \widehat {OMA} + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} + \widehat {O'NA}$

$= \widehat {OAM} + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} + \widehat {O'AN}$

$= \left( {\widehat {OAM} + \widehat {O'AN}} \right) + \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)$

$= 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Tứ giác OMNO' có $\widehat {OMN} + \widehat {MNO'} = 180^\circ$ nên OM // O'N.

b) Từ O' kẻ O'H ^ MO. Khi đó:

${S_{OMNO'}} = \frac{{\left( {O'N + OM} \right).O'H}}{2} = \frac{{\left( {R' + R} \right).O'H}}{2}$

$\le \frac{{\left( {R' + R} \right).O'O}}{2} = \frac{{{{\left( {R' + R} \right)}^2}}}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi O'H = O'O hay H ≡ O

Û O'O ^ MO hoặc O'O ^ NO'.

Vậy tứ giác MNO'O có diện tích lớn nhất là $\frac{{{{\left( {R' + R} \right)}^2}}}{2}$ Û O'O ^ MO.