Cho (O; R) và 3 dây AB, AC, AD; gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B trên các đường thẳng AC, AD. Chứng minh MN ≤ 2R.
Cho (O; R) và 3 dây AB, AC, AD; gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B trên các đường thẳng AC, AD. Chứng minh MN ≤ 2R.
Lời giải
Xét ∆BMC và ∆BND, có:
\[\widehat {BMC} = \widehat {BND} = 90^\circ \];
\(\widehat {BCM} = \widehat {BDN}\) (bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O; R)).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{BM}}{{BN}} = \frac{{BC}}{{BD}}\) và \(\widehat {MBC} = \widehat {NBD}\).
Xét ∆BNM và ∆BDC, có:
\(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BN}}{{BD}}\) \(\left( {\frac{{BM}}{{BN}} = \frac{{BC}}{{BD}}} \right)\).
\(\widehat {MBN} = \widehat {CDB}\) (do \(\widehat {MBC} + \widehat {CBN} = \widehat {CBN} + \widehat {NBD}\)).
Do đó (c.g.c).
Suy ra \(\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{BN}}{{BD}} \le \frac{{BD}}{{BD}} = 1\).
Khi đó MN ≤ CD.
Mà CD ≤ 2R (CD là một dây của đường tròn (O; R)).
Vậy MN ≤ 2R (điều phải chứng minh).