a) Vì AC và CM là tiếp tuyến cắt nhau tại C của (O) nên CO là tia phân giác của góc AOM.

Tương tự OD là tia phân giác của góc BOM.

Mà $\widehat {MOA} + \widehat {MOB} = 180^\circ$ ⇒ OC ⊥ OD ⇒ $\widehat {COD} = 90^\circ$

b) Vì CM, CA là tiếp tuyến của (O) nên OI ⊥ AM hay $\widehat {OAM} = 90^\circ$

Tương tự OD ⊥ MB suy ra $\widehat {OKM} = 90^\circ$

Mà AB là đường kính của (O) nên AM ⊥ BM hay $\widehat {IMK} = 90^\circ$

Ta có: $\widehat {OAM} = \widehat {OKM} = \widehat {IMK} = 90^\circ$

Do đó tứ giác OIMK là hình chữ nhật.

c) Ta có CM, CA là tiếp tuyến của (O) nên CA = CM

Tương tự DM = DB.

Mà OC ⊥ OD, OM ⊥ CD suy ra MC.MD = OM² = R² hay AC.BD = R²

⇒ AC.BD không đổi khi C di chuyển trên Ax.

d) Gọi E là trung điểm của CD.

⇒ OE là đường trung bình của hình thang ABDC.

⇒ EO // AC ⇒ EO ⊥ AB

Mà ∆COD vuông tại O (do $\widehat {COD} = 90^\circ$)

⇒ (E, EO) là đường tròn đường kính CD

⇒ AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD vì EO ⊥ AB