Cho n ∈ ℕ*. Chứng minh $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\mathrm{...}+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n$ .

Ta có: ${\left(x+1\right)}^n=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}\cdot 1+C_n^2{x}^{n-2}\cdot 1^2+\dots +C_n^{n-1}x\cdot 1^{n-1}+C_n^n\cdot 1^n$

$=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}+C_n^2{x}^{n-2}+\dots +C_n^{n-1}x+C_n^n$

Cho x = 1, ta được ${\left(1+1\right)}^n=C_n^0{1}^n+C_n^1{1}^{n-1}+C_n^2{1}^{n-2}+\dots +C_n^{n-1}1+C_n^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots +C_n^{n-1}+C_n^n$

Vậy $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\mathrm{...}+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n$ .