Gọi H là tâm của tam giác đều ABC cạnh a.

SH ⊥ (ABC) và \(\widehat {SAH} = \alpha \)

Gọi I là trung điểm của BC

Suy ra \(AH = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác vuông AHS có \[{\rm{cos}}\alpha = \frac{{AH}}{{SA}}\]

Suy ra \[{\rm{bcos}}\alpha = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow a = b\sqrt 3 \cos \alpha \]

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{b^2}co{{\rm{s}}^2}\alpha \).

Mà SH = SA . sinα = b . sinα

Thể tích hình chóp là \(V = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.b\sin \alpha .\frac{{3\sqrt 3 }}{4}{b^2}co{{\rm{s}}^2}\alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \).

Vậy ta chọn đáp án B.