Cho mặt cầu (S) tâm O, các điểm A ; B ; C nằm trên mặt cầu (S) sao cho $AB=3;AC=4;BC=5$ và khoàng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1 . Thể tích của khối cầu (S) bằng $\frac{a\sqrt{b}}{x}\pi$ (với a, b, x là các số nguyên và phân số là tối giản). Tính a.

Ta thấy $A{C}^2+A{B}^2=4^2+3^2=25=B{C}^2$ nên $△ABC$ vuông tại A. Khi đó mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa 3 điểm A; B; C cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm I, bán kính $r=\frac{BC}{2}\iff r=\frac{5}{2}$ với I là trung điểm BC. Theo giả thiết ta có: $d(O;(ABC\left)\right)=1\iff OI=1$.

Xét $△OIB$ vuông tại $I:R=\sqrt{O{I}^2+r^2}=\sqrt{1^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{29}}{2}$.

Thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi \cdot {\left(\frac{\sqrt{29}}{2}\right)}^3=\frac{29\sqrt{29}\pi }{6}$.