Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Trả lời

Lời giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác MPR.

Suy ra $\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} = \vec 0$.

Ta cần chứng minh G cũng là trọng tâm của tam giác NQS.

Tức là, ta cần chứng minh $\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \vec 0$.

Ta có $2\left( {\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} } \right) = 2\overrightarrow {GN} + 2\overrightarrow {GQ} + 2\overrightarrow {GS}$ (N, Q, S là trung điểm BC, DE, FA)

$= \left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GE} } \right) + \left( {\overrightarrow {GF} + \overrightarrow {GA} } \right)$

$= \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) + \left( {\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} } \right)$ (M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)

$= 2\overrightarrow {GM} + 2\overrightarrow {GP} + 2\overrightarrow {GR}$

$= 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} } \right) = 2.\vec 0 = \vec 0$.

Do đó $\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \vec 0$.

Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác NQS.

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.