Gọi H, H' lần lượt là trung điểm của BC, B'C'.

Do lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a nên $AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Và ${S_{\Delta A'B'C'}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Ta có: ((AB’C”), (ABC)) = (AH, AH’) $= \widehat {H'AH} = 60^\circ$.

Xét tam giác H'HA vuông tại H có:

$\tan 60^\circ = \frac{{H'H}}{{AH}} \Leftrightarrow H'H = AH.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \frac{3}{2}a$.

Mà A'A=H'H nên $A'A = \frac{3}{2}a$.

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{\Delta A'B'C'}} = \frac{3}{2}a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{8}{a^3}$.