Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng 2a . Tam giác ABC vuông tại A , AB = a, $AC=a\sqrt{3}$. Hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC Biết cô-sin góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C' là $\frac{1}{a}$ và B'C' là $\frac{1}{a}$ . Tính a.

Gọi H là trung điểm $BC\Rightarrow A^{\text{'}}H\perp \left(ABC\right)$.

Ta có $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}\cdot }\cdot \overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{H{A}^{\text{'}}}\right)\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{H{A}^{\text{'}}}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}$ do $A^{\text{'}}H\perp \left(ABC\right)\Rightarrow A^{\text{'}}H\perp BC$.

 $=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})-\frac{1}{2}\left(A{C}^2-A{B}^2\right)=\frac{1}{2}\left(3a^2-a^2\right)=a^2.$ .

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=2a$

Vậy $\cos \left(A{A}^{\text{'}};B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)=\frac{\left|\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\cdot \overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|}{A{A}^{\text{'}}\cdot B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{a^2}{2a\cdot 2a}=\frac{1}{4}\text{. }$