Vì S.ABCD là hình chóp đều nên $SO\perp \left(ABCD\right).$

Ta có $OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}.a\sqrt{6}=\frac{a\sqrt{6}}{2},$

$SO=\sqrt{S{D}^2-O{D}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

Vậy $OS=OA=OD=OB=OC,$ nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.                                          

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là $V=\frac{4}{3}\pi .S{O}^3=\pi a^3\sqrt{6}$ (đvtt)