a) Chứng minh DE = BF.
b) Tia DE cắt BF tại H. Chứng minh \(\widehat {DHF}\) = 90°
c) Gọi I là trung điểm của EF, K là giao điểm của FE và BD. Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành.
d) Chứng minh A, H, K thẳng hàng.
a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA và
\(\widehat {ABC} = \widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat {C{\rm{D}}A} = \widehat {DAB} = 90^\circ \)
Xét △DEC và △BFC có
EC = FC (giả thiết)
\(\widehat {DCE} = \widehat {BCF} = 90^\circ \)
DC = BC (chứng minh trên)
Do đó △DEC = △BFC (c.g.c)
Suy ra DE = BF (2 cạnh tương ứng), \(\widehat {E{\rm{D}}C} = \widehat {FBC}\)
b) Xét △BEH và △DEC có
\(\widehat {BEH} = \widehat {DEC}\) (hai góc đối đỉnh)
\(\widehat {E{\rm{D}}C} = \widehat {FBC}\) (chứng minh câu a)
Suy ra (g.g)
Do đó \(\widehat {BHE} = \overrightarrow {DCE} \)
Mà \(\overrightarrow {DCE} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BHE} = 90^\circ \)
Hay DE ⊥ BF
Suy ra \(\widehat {DHF} = 90^\circ \)
c) Xét tam giác BDF có
DE ⊥ BF
BC ⊥ DF
DE cắt BC tại E
Suy ra E là trực tâm tam giác BDF
Do đó FK ⊥ BD
Mà AO ⊥ BD
Suy ra AO // IK
Vì CE = CF nên tam giác CEF cân tại C
Mà CI là trung tuyến
Suy ra CI là đường cao
Hay CI ⊥ EF
Xét tứ giác OKIC có
\(\widehat {OKI} = \widehat {K{\rm{O}}C} = \widehat {CIK} = 90^\circ \)
Suy ra OKIC là hình chữ nhật
Do đó OC = KI
Mà OC = AO
Suy ra AO = KI
Xét tứ giác AOIK có AO // KI , AO = KI (chứng minh trên)
Suy ra AOIK là hình bình hành
d) Xét tứ giác ABHD có \(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {BHD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Suy ra tứ giác ABHD nội tiếp
Do đó \(\widehat {AHB} = \widehat {A{\rm{D}}B} = 45^\circ \)
Xét tứ giác DKHF có \(\widehat {{\rm{DKF}}} = \widehat {DHF} = 90^\circ \)
Suy ra tứ giác DKHF nội tiếp
Do đó \(\widehat {KHB} = \widehat {{\rm{FD}}B} = 45^\circ \)
Suy ra \(\widehat {AHB} = \overrightarrow {KHB} \)
Suy ra AH ≡ KH
Do đó A, H, K thẳng hàng
Vậy A, H, K thẳng hàng.