Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.

a) Chứng minh rằng tam giác AQR và tam giác APS là tam giác cân.

a)

Vì ABCD là hình vuông (giả thiết)

Nên AB = BC = CD = DA, $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{C\text{D}A}=\widehat{DAB}=90°$

Ta có $\widehat{B\text{AR}}+\widehat{RA\text{D}}=\widehat{DAB}=90°$

         $\widehat{\text{DAQ}}+\widehat{RA\text{D}}=\widehat{RAQ}=90°$

Suy ra $\widehat{BAR}=\widehat{DAQ}$

Xét DABR và DADQ có:

$\widehat{ABR}=\widehat{\text{ADQ}}\left(=90°\right)$;

AB = AD (chứng minh trên);

$\widehat{BAR}=\widehat{DAQ}$ (chứng minh trên)

Do đó DABR = DADQ (g.c.g)

Suy ra AR = AQ (2 cạnh tương ứng)

Do đó DAQR cân tại A

Chứng minh tương tự ta có DADS = DABP (g.c.g)

Suy ra AS = AP (2 cạnh tương ứng)

Do đó tam giác APS cân tại A.