Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$ .

Gọi O là tâm hình vuông.

Theo quy tắc 3 điểm ta có:

$\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$

= $4\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)-3\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)-2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)$

= $4\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}$

Mà $\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}$

Suy ra: $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$

Lấy điểm A' trên tia OA sao cho OA' = 3OA, khi đó: $\overrightarrow{OA\text{'}}=3\overrightarrow{OA}$

Suy ra: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA\text{'}}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA\text{'}}$

Mặt khác: BA' = $\sqrt{O{B}^2+OA{\text{'}}^2}=\sqrt{O{B}^2+9O{A}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+9.{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=a\sqrt{5}$

$\left|\overrightarrow{u}\right|=BA\text{'}=a\sqrt{5}$.