Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng \(\frac{\pi }{a}\left( {b{e^3} - 2} \right).\) Tìm a và b.

Xét phương trình: xlnx = 0 ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) ⇒ x = 1.

Áp dụng công thức trên ta có: \(V = \pi \int_1^e {{{\left( {x\ln x} \right)}^2}dx} = \pi \int_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} \)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {{\ln }^2}x}\\{dv = {x^2}dx}\end{array}} \right.\) ⇒ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2\ln x\frac{{dx}}{x}}\\{v = \frac{{{x^3}}}{3}}\end{array}} \right.\)

⇒ \[\frac{v}{\pi } = \frac{{{x^3}}}{3}\left. {{{\ln }^2}x} \right|_1^e - \frac{2}{3}\int_1^e {{x^2}\ln xdx} = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{2}{3}I\]

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = \ln x}\\{dv = {x^2}dx}\end{array}} \right.\) ⇒ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{dx}}{x}}\\{v = \frac{{{x^3}}}{3}}\end{array}} \right.\)

 ⇒ \(I = \frac{{{x^3}}}{3}\left. {\ln x} \right|_1^e - \frac{1}{3}\int_1^e {{x^2}dx} = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{1}{3}\left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^e\)

\( = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{1}{3}\left( {\frac{{{e^3}}}{3} - \frac{1}{3}} \right)\)\( = \frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}.\)

Do đó \(\frac{V}{\pi } = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{2}{3}I = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{2}{3}\left( {\frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}} \right) = \frac{{5{e^3}}}{{27}} - \frac{2}{{27}}\).

Vậy \(V = \frac{\pi }{{27}}\left( {5{e^3} - 2} \right)\) ⇒ a = 27 và b = 5.