Ta có ABCD là hình chữ nhật có: BC = AD = a, AB = CD = 2a.

Xét ∆ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC² = (2a)² + a² = 5a²

$\Rightarrow AC = a\sqrt 5$

Mà $OA = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Ta có: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right) = \widehat {BAO} = \widehat {BAC}$

$\cos \widehat {BAC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\left| {\overrightarrow {AO} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AO} } \right) = 2a.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\frac{{2\sqrt 5 }}{5} = 2{a^2}$.

Đáp án đúng là D.