Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trọng tâm tam giác ABD.

Ta có SH ^ (ABCD)  $\Rightarrow \left(\widehat{SD;\left(ABCD\right)}\right)=\left(\widehat{SD;HD}\right)=\widehat{SDH}=60°$

ABCD là hình vuông cạnh a nên 

•  $OD=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

•  $HO=\frac{1}{3}AO=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{6}$

Tam giác HDO vuông tại O, có:

 $HD=\sqrt{O{D}^2+O{H}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{6}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{3}$.

Tam giác SHD vuông tại H, có:

 $\tan \widehat{SDH}=\frac{SH}{HD}\Rightarrow SH=HD.\tan \widehat{SDH}=\frac{a\sqrt{5}}{3}.\tan 60°=\frac{a\sqrt{15}}{3}$.

Vậy thể tích cần tính là:

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{15}}{3}.a^2=\frac{a^3\sqrt{15}}{9}$.