Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD (tham khảo hình vẽ bên). Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN.

Gọi H là trung điểm của cạnh AB nên SH ^ AB

Mặt khác (SAB) ^ (ABCD) Þ SH ^ (ABCD)

Gọi F là trung điểm của MN, ΔCMN vuông tại C nên F là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCMN

Qua F kẻ d₁ // SH Þ d₁ ^ (ABCD)

Ta có:

+)  $HN=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow SN=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

+)  $MN=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

+)  $SM=\sqrt{S{H}^2+H{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+a^2}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$

Suy ra SN² + MN² = SM²

Do đó tam giác SMN vuông tại N

Gọi E là trun điểm của SM, qua E kẻ d₂ ^ (SMN) sao cho d₂ Ç d₁ = I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN.

Dễ thấy ΔHMN vuông cân tại N 

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}MN\perp HN\\ MN\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow MN\perp \left(SHN\right)\Rightarrow MN\perp SN$

$\Rightarrow \left(\widehat{\left(SMN\right);\left(ABCD\right)}\right)=\left(\widehat{SN;HN}\right)=\widehat{SNH}$

Ta có:  $\left\{\begin{array}{l}{d}_1\perp \left(ABCD\right)\\ d_2\perp \left(SMN\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(\widehat{d_1;d_2}\right)=\left(\widehat{\left(SMN\right);\left(ABCD\right)}\right)=\widehat{SNH}=\widehat{EIF}<90°$

$\Rightarrow \tan \widehat{EIF}=\tan \widehat{SNH}=\frac{SH}{SN}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Có EI ^ (SMN) Þ EI ^ EF

Do đó ∆EIF vuông tại E

$\Rightarrow IE=\frac{EF}{\tan \widehat{EIF}}=\frac{SN}{2\tan \widehat{EIF}}=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{2.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{a\sqrt{30}}{12}$.

Xét tam giác vuông SIE có:

 $IS=\sqrt{I{E}^2+S{E}^2}=\sqrt{I{E}^2+\frac{S{M}^2}{4}}=\frac{a\sqrt{93}}{12}=R$.

Vậy bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN là:  $\frac{a\sqrt{93}}{12}$.