Áp dụng công thức $r=\frac{3V}{S_{tp}}$ (*) và tam giác đều cạnh x có diện tích $S=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$

Từ giả thiết S.ABC đều có SA = SB = SC.

Lại có SA, SB, SC đôi một vuông góc và thể tích khối chóp S.ABC bằng $\frac{a^3}{6}$nên ta có SA = SB = SC = a.

Suy ra $AB=BC=CA=a\sqrt{2}$ và tam giác ABC đều cạnh có độ dài $a\sqrt{2}$.

Do đó diện tích toàn phần của khối chóp S.ABC là:

Stp  = SSAB + SSBC + SSCA + SABC

$=\frac{3a^2}{2}+\frac{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2.\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\left(3+\sqrt{3}\right)}{2}$ 

Thay vào (*) ta được:

$\frac{4\pi }{3}$

Vậy r = $r=\frac{a}{3+\sqrt{3}}$.